在信號完整性方面，很少有概念像信號帶寬一樣會造成如此多的混亂，帶寬究竟指的是什么，時域中信號的哪些特征會影響帶寬：上升時間還是壓擺率？
對于下圖中的兩個波形，兩個波形具有相同的上升時間，但壓擺率相差5倍，它們的帶寬是多少，哪個波形具有更高的帶寬？答案可能會讓你大吃一驚。這是一個重要的問題，因為它適用于仿真和測量的所有頻域和時域分析。
雖然帶寬是在涉及到信號的頻率分量時使用的術(shù)語，但它只有一個模糊的定義，必須先加以澄清，然后才能應(yīng)用它來幫助深入了解其與上升時間和壓擺率的關(guān)系。從根本上說，帶寬是信號“重要”頻譜分量的頻率范圍。
對于 RF 信號時，這通常是指頻譜中載波的頻率分量范圍，通常分為窄帶和寬帶。對于數(shù)字信號，由于它們的頻率范圍從 DC 開始，帶寬是指信號中“重要”的最高正弦頻率分量。歧義在于“重要”的定義， 僅查看頻域中時域信號的頻譜分量不足以回答“什么是重要的？”這個問題。
時域波形在頻域中的表示
時域信號通常使用快速傅立葉變換 (FFT) 轉(zhuǎn)換到頻域，F(xiàn)FT 是離散傅立葉變換 (DFT) 的快速矩陣方案。這將時域 V(t) 波形變換為頻域頻譜，頻譜由每個頻譜頻率區(qū)間中的復(fù)正弦振幅A(f)組成。通常只顯示復(fù)振幅的幅度，但也有相關(guān)的相位。
時域波形的三個屬性直接對應(yīng)頻譜的特征，無論波形是仿真還是測量的，這些都是適用的。
頻譜是通過在有限時間的采集窗口中對波形進(jìn)行采樣來計算的，采集窗口是一個重復(fù)的時間間隔。DC 之上的第一個頻率分量和頻率分辨率與數(shù)據(jù)的總采集時間有關(guān)。如果總時間窗口為 1 us，則每個 bin 之間的頻率間隔（即頻率分辨率）為 1/1 us= 1MHz。
時域中采集窗口中V(t) 的平均值是頻譜中直流分量即 0 Hz的幅度，例如，如果時域中的平均值為 0.5 V，則 0 Hz 頻率分量的幅度也是 0.5 V。
頻譜中的最高頻率是時域中測量或仿真數(shù)據(jù)的采樣率的一半，如果采樣率為 100 GHz，則使用 FFT 計算到的最高頻率分量為50 GHz。
對時域中理想正弦波做FFT 僅產(chǎn)生單一的正弦頻率分量，即正弦波的頻率。例如，使用 仿真軟件中的 FFT 函數(shù)計算的 10 MHz、100 MHz 和 1 GHz 三個理想正弦波的頻譜如下圖所示。時基為 1 微秒，采樣間隔為 5 ps，分辨率為 1 MHz， 顯示的最高頻率為 100 GHz。在此示例中， FFT 使用了 Blackman-Harris 窗函數(shù)。
從這個例子，可以明顯看出，正弦波的最高有效頻譜分量就是正弦波頻率本身，正弦波頻率以上的頻率分量的幅度基本等于 FFT 的數(shù)字本底噪聲，是無關(guān)緊要的。
理想方波
可以用紙筆手動計算 FFT 的少數(shù)波形之一的是理想方波，頻譜分量是重復(fù)頻率即基頻的倍數(shù)， 基頻的每一個倍數(shù)都是一個諧波。它們的幅度以1/n 下降并且以下面公式表示：
其中A(n) 是每個諧波分量的幅度，n 是諧波數(shù)；
對于理想的完美對稱方波，頻譜中的所有偶數(shù)次諧波相互抵消并在數(shù)值上等于 0。波形的前半部分和后半部分之間的任何不對稱都會產(chǎn)生一些偶次諧波分量，周期性類方波頻譜中的二次諧波分量意味著被測方波在其周期的前半部分和后半部分之間存在某種不對稱性。
任何 FFT 工具的簡單檢查就是對比其計算出的理想方波的頻譜與理想分析計算的匹配程度（見下圖）。在此示例中，左邊方波的上升時間為 5 ps，并且具有完美對稱的 50% 占空比，與右邊具有 50.1% 占空比的相同方波進(jìn)行了比較。
從理想方波的頻譜來看，帶寬是如何定義的？諧波的幅度按照1/f下降并變得非常小。低于什么幅度的頻率分量是無關(guān)緊要的？必須小心應(yīng)用諸如 3 dB 帶寬（幅度下降 3 dB 時的頻率）之類的定義，這只是幅度下降到初始值的 70%。一次諧波已經(jīng)下降到方波電壓峰峰值的 63%，三次諧波比一次諧波低 33%(約– 10 dB)。這是對具有 5 ps 上升時間的理想方波的分析。
信號頻譜中諧波的幅度并不是那么重要，重要的是描述信號上升時間所需的最高頻率。在這個具有 5 ps 上升時間的理想方波中，顯示的所有頻率分量都很重要，盡管其幅度很小，摒除某些頻率分量意味著不能重建 5 ps 上升時間，信號頻譜中頻率分量的幅度或頻譜分量的相對幅度變化不足以定義帶寬。
合成有限上升時間的方波
另一種評估信號帶寬（最高有效正弦頻率分量）的方法是合成一個具有有限上升時間和明確帶寬的方波。方波可以通過將其理想頻譜中的每個頻率分量從最低次諧波開始，一次一個地連續(xù)相加在一起來合成。
通過頻譜可以識別頻率分量及其幅度，包含除幅度 A(n) = 2/(pn) 以外的頻率分量的頻譜不會產(chǎn)生方波， 這將是一些失真的重復(fù)信號。幅度必須以 1/n 下降，才能產(chǎn)生類似方波的信號。
可以在時域中仿真多個不同頻率的正弦波，并使用一個簡單的電路將理想的正弦波電壓源串聯(lián)在一起。使用理想的 100 MHz 方波的分析計算幅度，下圖顯示了電路以及前 17 個諧波分量相加得到的時域波形。基頻是 100 MHz，每個諧波都是 100 MHz 的倍數(shù)，偶次諧波的幅度為 0。隨著更高頻率分量添加到波形中，信號的上升時間減小， 它們是負(fù)相關(guān)的。
每個合成波形的帶寬是明確的，在每個波形中重要的最高正弦頻率分量是添加的最高頻率正弦波。盡管更高頻率的頻率分量的幅度越來越小，但每個附加的分量對于縮短上升時間是至關(guān)重要的。
例如，具有前 17 個諧波分量的波形和該時域波形的頻譜如下圖所示，該波形的帶寬設(shè)計為 1.7 GHz。
此仿真可用于執(zhí)行簡單的數(shù)值實驗，將每個仿真波形的 10% 到 90% 上升時間與其設(shè)計帶寬進(jìn)行比較。并與常用的近似值 RT = 0.35/BW 相比，10% 到 90% 上升時間與設(shè)計帶寬之間的關(guān)系如下圖所示，上升時間和帶寬成反比。這種關(guān)系的一個有用的品質(zhì)因數(shù)是上升時間帶寬積。在這個數(shù)值實驗中，每一項都是有明確定義的。隨著諧波次數(shù)的增加，該乘積也下圖所示。
上圖中繪制的數(shù)據(jù)點顯示了基于數(shù)值實驗的純經(jīng)驗關(guān)系，該實驗明確定義了重現(xiàn)特定上升時間所需的最高頻率。上升時間帶寬積的值在很大程度上取決于上升沿的精確形狀。
與上升時間和帶寬相關(guān)的常用模型是該數(shù)值實驗結(jié)果的一個很好的近似值，然而，它只是一個近似值。該模型是基于一階濾波器的理想階躍響應(yīng)推導(dǎo)出來的，在該模型中，極點頻率被“隨意”定義為信號的帶寬。與基于經(jīng)驗實驗的明確帶寬定義相比，這種假設(shè)是相對合理的，經(jīng)驗實驗中的上升時間-帶寬乘積范圍從 0.2 到大約 0.42，1階模型的值 0.35 是處于此范圍的近似值。
上升時間和1階濾波器響應(yīng)
如果將信號帶寬定義為極點頻率，則基于設(shè)計頻譜與簡單一階濾波器響應(yīng)模型相匹配的上升時間和帶寬之間的經(jīng)驗關(guān)系。表明使用一階濾波器的極點頻率作為信號帶寬有一些特別之處。
一階低通濾波器在低頻時具有 0 dB 的傳遞函數(shù)，在極點頻率，傳遞函數(shù)下降到 – 3 dB， 此后，傳遞函數(shù)以20 dB/decade下降。這意味著當(dāng)理想的方波頻譜通過 1 極點濾波器時，極點頻率處的頻率分量的幅度下降了 3 dB（幅度下降到原始值的 70%），高于極點頻率后，下降速度要快得多。對于諧波幅度開始下降并很快變得不重要的頻率點，極點頻率是一個很好的指標(biāo)參數(shù)。
一階模型的質(zhì)量取決于時域波形的精確形狀和帶寬定義，對于 100 MHz 頻率的合成方波，僅將前 9 個諧波加在一起的合成信號的帶寬為 0.9 GHz，測得的 10% 到 90% 上升時間為 0.39 ns。具有特定形狀的誤差函數(shù)邊沿信號（高斯積分）的10% 至 90% 上升時間也是 0.39 ns（參考下圖），信號的形狀不完全相同但相似，應(yīng)該具有相似的帶寬。
上升時間為 0.39 ns的誤差函數(shù)信號的頻譜看起來也像通過 一階濾波器的理想方波的頻譜（參考下圖）。信號帶寬 0.9 GHz 處的頻率分量幅度也比理想方波低 3 dB，并且，在 0.9 GHz 以上，誤差函數(shù)邊沿信號的頻率分量下降速度超過 20 dB/十倍頻程。和在合成波形中一樣，在極點頻率之上，幅度是微不足道的。
說明濾波器的極點頻率是確定時域中重建波形所需的最高頻率分量的有用近似值。然而，這只是一個近似值。
這就是經(jīng)驗公式的來源，例如，1 ns上升時間信號的帶寬為 0.35/1 ns = 350 MHz。鑒于帶寬的這種近似值，壓擺率是多少？
上升時間和壓擺率
信號的壓擺率是電壓波形的斜率，即電壓的變化率。對于一階，壓擺率為：
可以通過改變電壓變化幅度來創(chuàng)建具有與上升時間無關(guān)的壓擺率的信號，例如，在文章開始的圖中顯示了兩個波形。它們具有相同的 10% 到 90% 的上升時間，均為 10 ns，但較大的幅度是較小幅度的 5 倍。因此，較大波形的壓擺率是較小波形的 5 倍。
較大幅度的信號具有更大的 dV/dt，看起來它的頻譜中應(yīng)該有更高的頻率分量以產(chǎn)生更大的斜率，但上升時間是相等的。當(dāng)波形的幅度縮小時，頻譜分量的幅度也縮小。對于相應(yīng)的理想方波，幅度下降 3 dB 的頻率是相同的（見下圖）。因此，兩個波形的帶寬是相同的。
每個波形的帶寬與頻譜的形狀有關(guān)，而不是頻率分量的絕對幅度。重建具有較大幅度的有限上升時間方波與小幅度信號需要相同的頻率分量，每個分量只是具有較大的幅度。重建每個波形所需的最高頻率分量是相同的。
總結(jié)
時域中的每個信號在頻域中都有自己對應(yīng)的頻譜。對于理想方波，很容易計算其頻譜分量及其幅度。要創(chuàng)建具有 0 ps 上升時間的理想方波，需要無窮的正弦頻率分量。盡管這些分量的幅度隨著頻率的提高而變得越來越小，但要創(chuàng)建一個較短的上升時間。每個分量都需要的，頻率分量的絕對幅度不是決定其帶寬的因素。
在合成有限上升時間的方波時，不需要帶寬以上的頻率分量來重新創(chuàng)建上升時間。根據(jù)經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)該帶寬接近于常用的基于一階濾波器階躍響應(yīng)的信號帶寬模型。
信號的頻譜取決于波形的精確形狀。實際上，該頻譜可由一階濾波器的階躍響應(yīng)近似。極點頻率是幅度比理想方波下降 3 dB 的頻率，此后更高頻率分量的貢獻(xiàn)可以忽略不計。
由于影響帶寬的是信號的上升時間，因此電壓變化的斜率不是影響的因素。如果信號的幅度信號加倍，則壓擺率加倍，每個諧波分量的幅度也加倍。但頻率分量下降 3 dB， 并且之后下降得更快的頻率點是相同的。
